Satz des Heron

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Ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c

Der Satz des Heron ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, welcher nach dem antiken Mathematiker Heron von Alexandria benannt ist. Der Satz beschreibt eine mathematische Formel, mit deren Hilfe der Flächeninhalt eines Dreiecks aus den drei Seitenlängen berechenbar ist. Man nennt die Formel auch heronsche Formel bzw. heronische Formel oder auch die Formel von Heron.

Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Flächeninhalt eines Dreiecks der euklidischen Ebene mit den Seitenlängen , , und halbem Umfang

ist

[1]

Andere Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Formel lässt sich auch so ausdrücken:

(V1)   

Ausmultipliziert erhält man:

(V2)   

Als weitere Darstellung der heronischen Formel ist auch die folgende gängig:

(V3)   ,[2]

welche man aus der Version (V1) durch Umgruppieren und Anwendung der binomischen Formeln mit den folgenden Gleichungen gewinnt:

Aus der Version (V3) lässt sich schließlich eine Darstellung mit einer Determinante ableiten:[3][4]

(V4)    [5]

Dies ist ein Spezialfall der Cayley-Menger-Determinante, mit der man das Volumen eines Simplexes, der Verallgemeinerung von Dreiecken auf beliebige Dimensionen, zum Beispiel ein Tetraeder in drei Dimensionen, berechnen kann.

(V4) erhält man aus (V3) unter Anwendung des Entwicklungssatzes von Laplace und elementarer Matrizenumformungen wie folgt:

Zahlenbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Dreieck mit den Seitenlängen , und hat den halben Umfang . Eingesetzt in die Formel erhält man den Flächeninhalt

Eine andere Darstellung der Formel ergibt

In diesem Beispiel sind die Seitenlängen und der Flächeninhalt ganze Zahlen. Deshalb ist ein Dreieck mit den Seitenlängen 4, 13 und 15 ein heronisches Dreieck.

Zusammenhang mit Sehnenvierecken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Formel kann als Grenzfall aus der Formel für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gewonnen werden, wenn zwei der Eckpunkte ineinander übergehen, so dass eine der Seiten des Sehnenvierecks die Länge Null annimmt. Für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gilt nämlich nach der Formel von Brahmagupta

,

wobei hier der halbe Umfang

ist.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beweis mit dem Satz des Pythagoras[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Satz des Pythagoras gilt und (siehe Abbildung). Subtraktion ergibt , also

Für die Höhe des Dreiecks gilt . Einsetzen der letzten Gleichung liefert

Anwenden der Quadratwurzel auf beiden Seiten ergibt

Daraus folgt für den Flächeninhalt des Dreiecks

Beweis mit dem Kosinussatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Kosinussatz gilt

Eingesetzt in den trigonometrischen Pythagoras folgt daraus

Die Höhe des Dreiecks auf der Seite hat die Länge . Einsetzen der letzten Gleichung liefert

Beweis mit dem Kotangenssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Inkreisradius des Dreiecks sei . Mit Hilfe des Kotangenssatz erhält man für den Flächeninhalt

Mit der Gleichung für Dreiecke (siehe Formelsammlung Trigonometrie) folgt daraus

Außerdem gilt (siehe Abbildung). Aus der Multiplikation dieser Gleichungen ergibt sich

und daraus der Satz des Heron.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 2, F–K. Aulis Verlag Deubner, Köln 1977, ISBN 3-7614-0242-2.
  • Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (= Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. Band 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1.
  • György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.
  • Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ausführlicher Beweis siehe auch Wikibooks-Beweisarchiv.
  2. Zu beachten ist hierbei, dass sich die Rollen der Seitenlängen beliebig vertauschen lassen.
  3. György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig, S. 380–381 (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).
  4. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 111.
  5. Auch hier lassen sich die Rollen der Seitenlängen vertauschen, was zu einer gleichwertigen, aber entsprechend abgewandelten Darstellung führt.